12707. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AB=AD
. Пусть T
— точка на диагонали AC
, для которой \angle ABT+\angle ADT=\angle BCD
. Докажите, что AT+AC\geqslant AB+AD
.
Решение. На отрезке AC
существует единственная точка T'
, для которой AT'\cdot AC=AB^{2}
. Поскольку \frac{AT'}{AB}=\frac{AB}{AC}
, треугольники ABC
и AT'B
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle ABT'=\angle ACB
. Аналогично, \angle ADT'=\angle ACD
. Тогда
\angle ABT'+\angle ADT'=\angle BCD,
а так как сумма \angle ABT'+\angle ADT'
возрастает с приближением точки T'
от вершины A
к вершине C
, то каждое своё значение эта сумма принимает только один раз. Следовательно, точка T'
совпадает с данной в условии точкой T
. Тогда AT\cdot AC=AB^{2}
.
Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического, следовательно,
AB+AD=2AB=2\sqrt{AT\cdot AC}\leqslant AT+AC.
Что и требовалось доказать.