12710. Высоты BB_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Точки B_{2}
и C_{2}
лежат на отрезках BH
и CH
соответственно, причём BB_{2}=B_{1}H
и CC_{2}=C_{1}H
. Описанная окружность треугольника B_{2}HC_{2}
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках D
и E
. Докажите, что треугольник DEH
прямоугольный.
Решение. Пусть \omega
— описанная окружность треугольника B_{2}HC_{2}
. Поскольку CC_{2}=C_{1}H
, серединный перпендикуляр к отрезку C_{2}H
совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку CC_{1}
, а значит, параллелен стороне AB
, и поэтому проходит через середину X
стороны BC
. Аналогично, серединный перпендикуляр к отрезку B_{2}H
проходит через точку X
. Следовательно, X
— центр окружности \omega
.
Точка D'
, симметричная ортоцентру H
треугольника ABC
относительно прямой BC
, лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 4785). В то же время, поскольку точка X
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку HD'
, то XD'=XH
, поэтому точка D'
лежит на окружности \omega
. Таким образом, D'
— одна из точек пересечения описанной окружности треугольника ABC
с окружностью \omega
. Пусть это точка D
. Тогда DH\perp BC
.
Линия центров рассматриваемых пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде DE
(см. задачу 1130), а так как линия центров — серединный перпендикуляр к BC
, то DE\parallel BC
. Значит, DH\perp DE
. Отсюда следует утверждение задачи.