12719. Прямая l
касается в точке A
окружности \Omega
, описанной около остроугольного треугольника ABC
. Точки X
и Y
— проекции точки B
на прямые l
и AC
соответственно, H
— ортоцентр треугольника BXY
, а прямая CH
пересекает прямую l
в точке D
. Докажите, что луч BA
— биссектриса угла CBD
.
Решение. Поскольку XH\perp BY
, BY\perp CY
, то HX\parallel AC
. Аналогично, YH\parallel AD
. Тогда
\frac{AD}{AX}=\frac{CD}{CH}=\frac{CA}{CY}~\Rightarrow~\frac{AD}{CA}=\frac{AX}{CY}=\frac{AB\cos\angle XAB}{CB\cos\angle YCB}.
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что \angle XAB=\angle YCB
, поэтому \frac{AD}{CA}=\frac{AB}{CB}
, или \frac{AD}{AB}=\frac{CA}{CB}
. Значит, треугольники DAB
и ACB
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle CBA=\angle ABD
. Что и требовалось доказать.