12722. В треугольник ABC
вписана окружность с центром I
. Точки F
и G
— проекции вершины A
на прямые BI
и CI
соответственно. Лучи AF
и AG
вторично пересекают описанные окружности треугольников CFI
и BGI
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что прямая AI
проходит через середину отрезка KL
.
Решение. Поскольку \angle IFK=90^{\circ}
, отрезок IK
— диаметр описанной окружности треугольника CFI
. Значит, \angle ICK=90^{\circ}
. Аналогично, IL
— диаметр описанной окружности треугольника BGI
, поэтому \angle IBL=90^{\circ}
. Следовательно, CK\parallel GL
и BL\parallel FK
.
Пусть прямые CK
и BL
пересекаются в точке D
. Тогда DKAL
— параллелограмм Точка D
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
, так как лучи CD
и BD
перпендикулярны биссектрисам соответственно CI
и BI
треугольника ABC
, а значит, являются биссектрисами его внешних углов при вершинах C
и B
(см. задачу 937). Тогда точка D
лежит на биссектрисе AI
внутреннего угла треугольника ABC
при вершине A
(см. задачу 1192). Точка I
лежит на диагонали AD
параллелограмма DKAL
, следовательно, прямая AI
проходит через середину другой его диагонали KL
. Что и требовалось доказать.