12726. Окружность \omega
проходит через середину X
дуги ABC
описанной окружности \Omega
неравнобедренного треугольника ABC
, вершину B
и пересекает стороны AB
и BC
в точках E
и D
соответственно. Точки M
и N
— середины отрезков AC
и DE
соответственно. Докажите, что прямая MN
параллельна биссектрисе угла ABC
.
Решение. На продолжении медианы EM
треугольника AEC
отложим отрезок ME'=EM
. Тогда AECE'
— параллелограмм, а так как CD=AE=CE'
(см. задачу 6436), то треугольник DCE'
равнобедренный.
Пусть \angle BAC=2\alpha
, \angle ABC=2\beta
, а BF
— биссектриса угла ABC
. Тогда
\angle ACE'=2\alpha,~\angle DCE'=\angle180^{\circ}-2\beta,
поэтому
\angle CDE'=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DCE')=\beta=\angle CBF.
Значит, BF\parallel DE'
, а так как MN
— средняя линия треугольника ADE'
, то MN\parallel DE'
. Следовательно, MN\parallel BF
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50.