12728. Окружность, проходящая через вершину B
треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и BC
в точках E
и D
соответственно. Докажите, что AE+CD=AC
тогда и только тогда, когда эта окружность проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть окружность \omega
, проходящая через вершину B
, проходит также через центр I
вписанной окружности треугольника ABC
, а F
— точка, симметрична точке I
относительно прямой AI
. Луч AI
— биссектриса угла BAC
, четырёхугольник BDIE
вписанный, а CI
— биссектриса угла DCF
, поэтому
\angle CFI=180^{\circ}-\angle AFI=180^{\circ}-\angle AEI=\angle EID=\angle CDI,~\angle FCI=\angle DCI.
Тогда \angle CIF=\angle CID
. Значит, треугольники CIF
и CID
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно,
AE+CD=AF+CF=AC.
Пусть теперь
AE+CD=AC,
Если E
и D
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
и BC
, то четырёхугольник BDIE
вписанный, следовательно, окружность проведённая через точки B
, E
и D
, проходит через точку I
.
Если же, например, точка касания D'
вписанной окружности со стороной BC
лежит между B
и D
, то из равенств
AE+CD=AC,~AE'=CD'=AC
получаем, что точка E
лежит между B
и E'
, причём EE'=DD'
.
Прямоугольные треугольники ID'D
и IE'E
равны по двум катетам, поэтому angleIDD'=\angle IEE'
, причём BDI
и BEI
— противоположные углы четырёхугольника BDIE
. Значит,
\angle BEI=180^{\circ}-\angle IEE'=180^{\circ}-\angle IDD'=180^{\circ}-\angle IDB.
Следовательно, четырёхугольник BDIE
вписанный, и поэтому окружность проведённая через точки B
, E
и D
проходит, через точку I
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50.