1274. Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника,
а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;
б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.
Указание. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть M
, N
, K
, L
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, DA
четырёхугольника ABCD
. Тогда MN\parallel KL
(т. к. MN
и KL
— средние линии треугольников ABC
и ADC
) и NK\parallel ML
(аналогично). Следовательно, четырёхугольник MNKL
— параллелограмм.
Если MK=NL
, то этот параллелограмм — прямоугольник. Тогда MN\perp ML
. Поэтому AC\perp BD
.
Если же MK\perp NL
, то MNKL
— ромб. Поэтому MN=ML
. Следовательно, AC=BD
.