12749. Точка I
— центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Точки P
, Q
, R
выбраны на сторонах AB
, BC
, CA
соответственно, причём AP=AR
и BP=BQ
, а \angle PIQ=\angle BAC
. Докажите, что QR\perp AC
.
Решение. Заметим, что четырёхугольник BPIQ
выпуклый, так как если его угол при вершине I
больше развёрнутого, то угол PIQ
выпуклого пятиугольника ACQIP
равен углу BAC
, что невозможно, так как
\angle PIQ=90^{\circ}+\frac{1}{2}BAC\gt90^{\circ}
(см. задачу 4770).
Поскольку BP=BQ
и \angle PBI=\angle QBI
, а AI
— биссектриса угла PAR
, то треугольники IPB
и IQB
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому равны их внешние углы при соответствующих вершинах, т. е. \angle IQC=\angle IPA
. Треугольники IPA
и IRA
также равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle IPA=\angle IRA
. Тогда \angle IQC=\angle IRA
. Следовательно, четырёхугольник CQIR
вписанный (см. задачу 49).
Поскольку
\angle PIB=\angle QIB=\frac{1}{2}\angle BAC,
то
\angle CIQ=\angle CIB-\angle QIB=\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\right)-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}.
Следовательно, из вписанного четырёхугольника CQIR
получаем, что
\angle CRQ=\angle CIQ=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.