12755. Треугольник разбили тремя отрезками, выходящими из трёх его вершин, на семь частей: четыре треугольника и три четырёхугольника. Могут ли все эти три четырёхугольника оказаться вписанными?
Ответ. Нет, не могут.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник; AD
, BE
, CF
— отрезки, о которых говорится в условии задачи; X
— точка пересечения BE
и AD
, Y
— точка пересечения CF
и BE
, Z
— точка пересечения AD
и CF
. Пусть, для определённости, AZ\lt AX
. Три указанных четырёхугольника — это четырёхугольники AZYE
, BFZX
и CDXY
.
Предположим, что все они вписанные. Тогда
\angle XYZ=180^{\circ}-\angle EYZ=\angle EAZ\lt\angle BAC.
Аналогично,
\angle YZX\lt\angle CBA,~\angle ZXY\lt\angle ACB.
Но тогда сумма углов треугольника XYZ
меньше суммы углов треугольника ABC
, что невозможно, так как обе эти суммы равны по 180^{\circ}
.