12763. На стороне
BC
остроугольного треугольника
ABC
отмечены точки
D
и
E
, причём
BD=CE
. На дуге
DE
описанной окружности треугольника
ADE
, не содержащей точку
A
, нашлись такие точки
P
и
Q
, что
AB=PC
и
AC=BQ
. Докажите, что
AP=AQ
.
Решение. Первый способ. Без ограничения общности будем считать, что точка
D
лежит на отрезке
BE
и
AD\leqslant AE
. Пусть
O
— центр описанной окружности
\Omega
треугольника
ADE
. Пусть точка
A'
симметрична
A
относительно серединного перпендикуляра к отрезку
DE
(рис. 1). Из симметрии
A'B=AC=BQ
. Окружность с центром
B
и радиусом
BA'
пересекает окружность
\Omega
в точках, симметричных относительно прямой
BO
, т. е. точки
A'
и
Q
симметричны относительно прямой
BO
(обе окружности симметричны относительно их линии центров, значит, точки их пересечения симметричны относительно линии центров). Аналогично, точки
A'
и
P
симметричны относительно прямой
CO
.
Прямые
OB
и
OC
симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку
DE
, поэтому они образуют равные углы с прямой
DE
. Поскольку
A'P\perp CO
,
A'Q\perp BO
и
AA'\parallel DE
, то прямые
A'Q
и
A'P
образуют равные углы с прямой
AA'
.
Пусть
T
— точка на продолжении отрезка
AA'
за точку
A'
. Четырёхугольник
APQA'
вписанный, поэтому
\angle AA'P=\angle QA'T=\angle APQ,

Значит, равные вписанные углы
AA'P
и
APQ
опираются на равные меньшие дуги окружности
\Omega
, стягиваемые хордами
AP
и
AQ
. Следовательно,
AP=AQ
. Что и требовалось.
Второй способ. Без ограничения общности будем считать, что точка
D
лежит на отрезке
BE
. Пусть
O
— центр окружности
\Omega
, описанной около треугольника
ADE
. Заметим, что
OB=OC
. Поскольку
\angle DAE\lt\angle BAC\lt90^{\circ},

точки
A
и
O
лежат по одну сторону от прямой
BC
(рис. 2). Треугольники
OAB
и
OPC
равны по трём сторонам, треугольники
OAC
и
OQB
— тоже. Тогда
\angle ABQ=\angle ABO+\angle OBQ=\angle PCO+\angle OCA=\angle PCA.

(Если луч
BO
не проходит между сторонами угла
ABQ
, то луч
BA
проходит между сторонами угла
QBO
, а значит, и внутри угла
OBC
. В этом случае либо
\angle BOA\gt\angle BOE=\angle COD\gt\angle COP,

либо
\angle BOA\lt\angle BOD=\angle COE\lt\angle COP;

в обоих случаях получаем противоречие с равенством треугольников
OAB
и
OPC
. Аналогично, луч
CO
проходит между сторонами угла
PCA
.) Следовательно, треугольники
ABQ
и
PCA
равны по двум сторонам и углу между ними, откуда
AP=AQ
.