12770. Вокруг равностороннего треугольника ABC
описана окружность. На меньшей дуге BC
взята точка M
, для которой MB=21
и MC=28
. Отрезки AM
и BC
пересекаются в точке D
. Найдите MD
.
Ответ. 12.
Решение. Вписанные углы AMB
и AMC
опираются на равные хорды, поэтому они равны, причём
\angle AMD=\angle AMB=\angle ACB=60^{\circ}=\angle ABC=\angle AMC=\angle DMC.
Значит, MD
— биссектриса треугольника BMC
. Следовательно (см. задачу 4021),
MD=\frac{2MB\cdot MC\cdot\cos\frac{1}{2}\angle BMC}{MB+MC}=\frac{2\cdot21\cdot28\cdot\cos60^{\circ}}{21+28}=12.