12795. В треугольнике ABC
проведена высота CD
. Известно, что AD\cdot BD=CD^{2}
. Обязательно ли треугольник ABC
— прямоугольный?
Ответ. Не обязательно.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник A'BC
и проведём его высоту CD
из вершины прямого угла (см. рисунок). Тогда, по свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, A'D\cdot BD=CD^{2}
(см. задачу 2728).
Пусть точка A
симметрична вершине A'
относительно точки D
. Тогда AD=A'D
. Значит, для треугольника ABC
выполняется равенство AD\cdot BD=CD^{2}
, причём CD
— его высота. Однако этот треугольник тупоугольный.
Примечание. Если в условие задачи добавить, что высота CD
лежит внутри треугольника, то утверждение о том, что ABC
прямоугольный, станет верным (см. задачу 1987).