12796. ABCD
— трапеция с основаниями AD
и BC
. Радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC
, BCD
и ACD
равны R_{1}
, R_{2}
и R_{3}
соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABD
.
Ответ. \frac{R_{1}R_{2}}{R_{3}}
.
Решение. Обозначим искомый радиус через R_{4}
. Для каждого из треугольников, указанных в условии, теореме синусов получим
R_{1}=\frac{AC}{2\sin\angle ABC},~R_{2}=\frac{BD}{2\sin\angle BCD},
R_{3}=\frac{AC}{2\sin\angle ADC},~R_{4}=\frac{BD}{2\sin\angle BAD}.
Тогда
R_{1}R_{2}=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}\cdot\frac{BD}{2\sin\angle BCD},
R_{3}R_{4}=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}\cdot\frac{BD}{2\sin\angle BAD}.
Правые части полученных равенств равны, так как
\sin\angle ABC=\sin(180^{\circ}-\angle ABC)=\sin\angle BAD,
\sin\angle BCD=\sin(180^{\circ}-\angle BCD)=\sin\angle ADC.
Значит, равны и левые части, т. е. R_{1}R_{2}=R_{3}R_{4}
. Следовательно, R_{4}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{3}}
.