12798. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
на стороны CD
и AB
опущены перпендикуляры AE
и DF
соответственно. Найдите углы четырёхугольника, если AE\geqslant BD
, DF\geqslant AC
, AD=2AB
.
Ответ. Два угла по 60^{\circ}
и два угла по 120^{\circ}
.
Решение. Перпендикуляр к прямой короче наклонной, проведённой к ней из той же точки, поэтому то AC\geqslant AE\geqslant BD
и BD\geqslant DF\geqslant AC
. Следовательно, AC=BD
. Тогда AE
совпадает с AC
, а DF
совпадает с DB
.
Поскольку \angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}
, четырёхугольник ABCD
можно вписать в окружность с диаметром AD
. Кроме того, прямоугольные треугольники ABD
и DCA
равны (по катету и гипотенузе), значит, \angle ADB=\angle CAD
, поэтому BC\parallel AD
. Тогда ABCD
— равнобедренная трапеция.
В прямоугольном треугольнике ABD
катет AB
равен половине гипотенузы AD
, поэтому, \angle ADB=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAD=60^{\circ}=\angle CDA,~\angle ABC=\angle DCB=120^{\circ}.