12837. Углы при вершинах A
и C
треугольника ABC
равны 80^{\circ}
и 30^{\circ}
соответственно. Точка M
лежит внутри треугольника, причём \angle MAC=60^{\circ}
и \angle MCA=20^{\circ}
. Луч BM
пересекает сторону AC
в точке N
. Докажите, что MN
— биссектриса угла AMC
.
Решение. Из условия задачи находим, что
\angle MAB=20^{\circ},~\angle MCB=10^{\circ}.
По теореме синусов из треугольников AMB
и CMB
получаем
\frac{AM}{BM}=\frac{\sin\angle ABM}{\sin20^{\circ}}~\Rightarrow~AM=\sin\angle ABM\cdot\frac{BM}{\sin20^{\circ}},
\frac{MC}{BM}=\frac{\sin\angle MBC}{\sin10^{\circ}}~\Rightarrow~MC=\sin\angle MBC\cdot\frac{BM}{\sin10^{\circ}},
значит,
\frac{AM}{MC}=\frac{\sin\angle ABM\cdot\frac{BM}{\sin20^{\circ}}}{\sin\angle MBC\cdot\frac{BM}{\sin10^{\circ}}}=\frac{\sin\angle ABM}{\sin\angle MBC}\cdot\frac{\sin10^{\circ}}{\sin20^{\circ}}=
=\frac{\sin\angle ABM}{\sin\angle MBC}\cdot\frac{\sin10^{\circ}}{2\sin10^{\circ}\cos10^{\circ}}=\frac{\sin\angle ABM}{\sin\angle MBC}\cdot\frac{1}{2\cos10^{\circ}}.
По теореме синусов из треугольников ANB
и CNB
получаем
\frac{AN}{BN}=\frac{\sin\angle ABM}{\sin80^{\circ}}~\Rightarrow~AN=\sin\angle ABM\cdot\frac{BN}{\sin80^{\circ}},
\frac{NC}{BN}=\frac{\sin\angle CBN}{\sin30^{\circ}}~\Rightarrow~NC=\sin\angle CBN\cdot\frac{BN}{\sin30^{\circ}}=2\sin\angle CBM\cdot BN.
Значит,
\frac{AN}{NC}=\frac{\sin\angle ABM\cdot\frac{BN}{\sin80^{\circ}}}{2\sin\angle CBN\cdot BN}=\frac{\sin\angle ABM}{\sin\angle MBC}\cdot\frac{1}{2\sin80^{\circ}}=
=\frac{\sin\angle ABM}{\sin\angle MBC}\cdot\frac{1}{2\cos10^{\circ}}=\frac{AM}{MC}.
Следовательно (см. задачу 1510), MN
— биссектриса угла AMC
. Что и требовалось доказать.