12838. Точки D
, E
и F
— середины сторон BC
, AC
и AB
треугольника ABC
соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников AEF
, BDF
и CDE
проведена окружность. Докажите, что её радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника DEF
.
Решение. Треугольник DEF
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом k=\frac{1}{2}
. Обозначим центры вписанных окружностей треугольников AEF
, BDF
и CDE
через A'
, B'
и C'
соответственно. Тогда окружность, содержащая эти точки, описана около треугольника A'B'C'
.
Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Треугольник AEF
— образ треугольника ABC
при гомотетии с центром A
и коэффициентом k=\frac{1}{2}
, поэтому точка A'
— образ точки I
при этой гомотетии. Значит, A'
— середина отрезка AI
. Аналогично, точки B'
и C'
— середины отрезков BI
и CI
соответственно. Следовательно, отрезки A'B'
, B'C'
и C'A'
— средние линии треугольников AIB
, BIC
и CIA
соответственно. Таким образом, треугольник A'B'C'
также подобен треугольнику ABC
с коэффициентом k=\frac{1}{2}
. Значит треугольники A'B'C'
и DEF
равны. Следовательно, равны и радиусы окружностей, описанных около них.