12841. Дан треугольник ABC
, площадь которого равна 1. На продолжении стороны AB
за точку B
отложен отрезок BB'=AB
, на продолжении стороны BC
за точку C
отложен отрезок CC'=2BC
, на продолжении стороны CA
за точку A
отложен отрезок AA'=3BC
. Найдите площадь треугольника A'B'C'
.
Ответ. 18.
Решение. Точка B
делит сторону AB'
треугольника AB'C
в отношении 1:1
, поэтому треугольник BCB'
равновелик треугольнику ABC
. Значит, S_{\triangle BCB'}=1
, а так как CC'=2BC
, то S_{\triangle CB'C'}=2
(см. задачу 3000). Тогда
S_{\triangle BB'C'}=1+2=3.
Точка C
делит сторону BC'
треугольника AC'B
в отношении 1:2
, поэтому S_{\triangle ACC'}=2
, а так как AA'=3AC
, то S_{\triangle AA'C'}=6
. Тогда
S_{\triangle AA'C'}=2+6=8.
Точка A
делит сторону CA'
треугольника CA'B
в отношении 1:3
, поэтому S_{\triangle ABA'}=3
, а так как BB'=AB
, то S_{\triangle BB'A'}=3
. Тогда
S_{\triangle AB'A'}=3+3=6.
Следовательно,
S_{\triangle A'B'C'}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BB'C'}+S_{\triangle AA'C'}+S_{\triangle AB'A'}=1+3+8+6=18.