12842. Верно ли, что в любом треугольнике точка пересечения медиан лежит внутри треугольника, образованного основаниями биссектрис?
Ответ. Нет, неверно.
Решение. Приведём один из возможных примеров. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором
AB=BC=3,~AC=1.
Пусть BH
— его высота, AD
и CE
— биссектрисы, M
— точка пересечения медиан. Тогда (см. задачу 1509)
BE:EA=BD:DC=AB:AC=3:1.
Пусть отрезок DE
пересекает BH
в точке K
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках BK:KH=3:1
, а по теореме о медианах треугольника BM:MH=2:1
. Следовательно, точка M
пересечения медиан лежит вне треугольника DEH
, образованного основаниями биссектрис.