12843. Числа x
, y
, z
и t
лежат в интервале (0;1)
. Докажите неравенство
\sqrt{x^{2}+(1-t)^{2}}+\sqrt{y^{2}+(1-x)^{2}}+\sqrt{z^{2}+(1-y)^{2}}+\sqrt{t^{2}+(1-z)^{2}}\lt4.
Решение. Рассмотрим квадрат ABCD
со стороной 1. На его сторонах AB
, BC
, CD
и DA
отложим отрезки
AK=x,~BL=y,~CM=z,~DN=t
соответственно. Тогда требуемое неравенство примет вид
NK+KL+LM+MN\lt4.
По неравенству треугольника:
NK\lt AK+AN,~KL\lt BK+BL,
LM\lt CL+CM,~MN\lt DM+DN.
Сложив эти неравенства, получим, что
NK+KL+LM+MN\lt AB+BC+CD+DA=4.
Следовательно,
\sqrt{x^{2}+(1-t)^{2}}+\sqrt{y^{2}+(1-x)^{2}}+\sqrt{z^{2}+(1-y)^{2}}+\sqrt{t^{2}+(1-z)^{2}}\lt4.
Что и требовалось доказать