12860. Пусть h_{c}
— высота прямоугольного треугольника с катетами a
, b
и гипотенузой c
, проведённая из вершины прямого угла. Докажите, что a+b\lt c+h_{c}
.
Решение. Первый способ. Высота любого треугольника меньше диаметра 2r
вписанной окружности. В нашем случае
h_{c}\lt2r=a+b-c
(см. задачу 217). Следовательно,
a+b\lt c+h_{c}.
Второй способ. Пусть S
— площадь треугольника. Тогда ab=ch_{c}=2S
, а так как a^{2}+b^{2}=c^{2}
, то
a+b\lt c+h_{c}~\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}+2ab\lt c^{2}+h_{c}^{2}+2ch_{c}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~2ab\lt h_{c}^{2}+2ch_{c}~\Leftrightarrow~4S\lt h_{c}^{2}+4S~\Leftrightarrow~h_{c}^{2}\gt0.
Отсюда следует утверждение задачи.