12862. Докажите, что отношение радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к высоте, опущенной на гипотенузу, находится между 0,4 и 0,5, т. е. 0{,}4\lt\frac{r}{h_{c}}\lt0{,}5
.
Решение. Пусть a
и b
— катеты треугольника, c
— гипотенуза, h_{c}
— высота, опущенная на гипотенузу, r
— радиус вписанной окружности, S
— площадь треугольника. Тогда (см. задачу 452)
ch_{c}=2S=r(a+b+c),
откуда
\frac{r}{h_{c}}=\frac{c}{a+b+c}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Заметим, что
\frac{r}{h_{c}}\lt\frac{1}{2}~\Leftrightarrow~\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\lt\frac{1}{2}~\Leftrightarrow~2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\lt a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\sqrt{a^{2}+b^{2}}\lt a+b~\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}\lt a^{2}+b^{2}+2ab~\Leftrightarrow~ab\gt0.
В то же время, поскольку \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geqslant\frac{a+b}{2}
(см. задачу 3399), то \frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\lt\sqrt{2}\lt\frac{3}{2}
, поэтому
\frac{r}{h_{c}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{1}{1+\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}\gt\frac{1}{1+\frac{3}{2}}=\frac{2}{5}.
Что и требовалось доказать.