12863. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетом a
и гипотенузой c
. Докажите, что
а) r\lt\frac{1}{2}a
;
б) r\lt\frac{1}{4}c
,
в) r\leqslant\frac{c}{2(1+\sqrt{2})}
.
Решение. а) Катет больше диаметра вписанной окружности. В нашем случае a\gt2r
. Следовательно, r\lt\frac{1}{2}a
.
б) Пусть h_{c}
— высота данного треугольника, опущенная на гипотенузу. Эта высота больше диаметра 2r
вписанной окружности. Из вершины прямого угла проведём медиану m
. Тогда (см. задачу 1109)
\frac{1}{2}c=m\geqslant h_{c}\gt2r.
Следовательно, r\lt\frac{1}{4}c
.
в) Пусть b
— второй катет треугольника, S
— площадь треугольника. Воспользуемся очевидными неравенствами
a+b\geqslant2\sqrt{ab},~c^{2}=a^{2}+b^{2}\geqslant2ab
и равенством
r=\frac{2S}{a+b+c}=\frac{ab}{a+b+c}
(см. задачу 452). Получим
\frac{c^{2}}{r^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{\frac{a^{2}b^{2}}{(a+b+c)^{2}}}=\frac{(a^{2}+b^{2})(a+b+c)^{2}}{a^{2}b^{2}}\geqslant\frac{2ab(2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab})}{a^{2}b^{2}}=
=\frac{2a^{2}b^{2}(2+\sqrt{2})}{a^{2}b^{2}}=2(2+\sqrt{2})^{2}=4(\sqrt{2}+1)^{2},
откуда
r\leqslant\frac{c}{2(1+\sqrt{2})}.
Что и требовалось доказать.