12870. Докажите, что произведение любых двух сторон треугольника больше учетверённого произведения радиусов описанной и вписанной окружностей.
Решение. Пусть R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника, a
, b
и c
— стороны треугольника, S
— площадь, p
— полупериметр. Тогда
R=\frac{abc}{4S},~r=\frac{S}{p}
(см. задачи 4259 и 452). Значит,
ab\gt4Rr~\Leftrightarrow~ab\gt4\cdot\frac{abc}{4S}\cdot\frac{S}{p}\Leftrightarrow~ab\gt\frac{abc}{p}\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~1\gt\frac{2c}{a+b+c}\Leftrightarrow~a+b+c\gt2c~\Leftrightarrow~a+b\gt c.
Последнее неравенство верно как неравенство треугольника. Отсюда следует утверждение задачи.