12874. Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.
Решение. Пусть рациональные числа a_{1}
и b_{1}
— координаты вершины A_{1}
, рациональные числа a_{2}
и b_{2}
— координаты вершины A_{2}
, рациональные числа a_{3}
и b_{3}
— координаты вершины A_{3}
треугольника A_{1}A_{1}A_{3}
, а x
и y
— координаты центра O
описанной окружности треугольника. Тогда OA_{1}=OA_{2}
и OA_{1}=OA_{3}
, или
\syst{(x-a_{1})^{2}+(y-b_{1})^{2}=(x-a_{2})^{2}+(y-b_{2})^{2}\\(x-a_{1})^{2}+(y-b_{1})^{2}=(x-a_{3})^{2}+(y-b_{3})^{2}.\\}
После очевидных упрощений получим линейное уравнение с рациональными коэффициентами (так как все числа a_{1}
, b_{1}
, a_{2}
, b_{2}
, a_{3}
, b_{3}
рациональны). Следовательно, координаты x
и y
точки O
также рациональны.