12888. Найдите сторону квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Одна сторона квадрата лежит на гипотенузе.
Ответ. \frac{60}{37}
.
Решение. Первый способ. Обозначим сторону квадрата через x
. Пусть сторона KL
квадрата KLMN
лежит на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
, вершина M
— на катете BC=3
, вершина N
— на катете AC=4
, а высота CH
пересекает отрезок MN
в точке P
. Тогда (см. задачу 1967)
CH=\frac{AB\cdot AC}{AB}=\frac{12}{5}.
Из подобия треугольников NCM
и ABC
получаем
\frac{CP}{CH}=\frac{MN}{AB},~\mbox{или}~\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}=\frac{x}{5},
откуда x=\frac{60}{37}
.
Второй способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
, а сторону квадрата — через x
. Тогда
\tg\alpha=\frac{3}{4},~AK=KN\ctg\alpha=\frac{4}{3}x,~LB=ML\tg\alpha=\frac{3}{4}x,
а так как
AK+KL+LB=AB,
то
\frac{4}{3}x+x+\frac{3}{4}x=5,
откуда x=\frac{60}{37}
.