12891. Точка D
лежит на стороне AC
правильного треугольника ABC
. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABD
и ABC
, если AD:AC=n
.
Ответ. \sqrt{n^{2}-n+1}
.
Решение. Пусть r
и R
— радиусы описанных окружностей треугольников ABD
и ABC
соответственно, а сторона треугольника ABC
равна a
. Тогда
AD=na,~BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}-2AB\cdot AD\cos60^{\circ}}=
=\sqrt{a^{2}+n^{2}a^{2}-na^{2}}=a\sqrt{1+n^{2}-n}.
По теореме синусов
r=\frac{BD}{2\sin60^{\circ}}=\frac{a\sqrt{1+n^{2}-n}}{\sqrt{3}},~R=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
\frac{r}{R}=a\sqrt{1+n^{2}-n}.