1290. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Указание. Пусть ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— треугольники, у которых \angle C=\angle C_{1}
и \frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{B_{1}C_{1}}{BC}
. При гомотетии с коэффициентом k=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{B_{1}C_{1}}{AB}
треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
переходит в треугольник, равный треугольнику ABC
.
Решение. Пусть ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— треугольники, у которых \angle C=\angle C_{1}
и \frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}
.
Обозначим \frac{AC}{A_{1}C_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}=k
. Докажем, что при гомотетии с центром в произвольной точке O
и коэффициентом k
треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
переходит в треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
, равный треугольнику ABC
.
Действительно, так как при гомотетии с положительным коэффициентом луч переходит в сонаправленный с ним луч, то сохраняются углы, поэтому \angle C_{2}=\angle C_{1}=\angle C
. Кроме того,
A_{2}C_{2}=kA_{1}C_{1}=\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\cdot A_{1}C_{1}=AC,
B_{2}C_{2}=kB_{1}C_{1}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\cdot B_{1}C_{1}=BC.
Следовательно, треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
равен треугольнику ABC
по двум сторонам и углу между ними.
Треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}
гомотетичны, значит, они подобны, а треугольники A_{2}B_{2}C_{2}
и ABC
равны и поэтому тоже подобны. Следовательно, треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
подобны. Утверждение доказано.
