12904. В окружность вписан четырёхугольник ABCD
, в котором диагональ BD
проходит через середину диагонали AC
. Докажите, что
2BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.
Решение. По теореме косинусов
BD^{2}=AB^{2}+DA^{2}-2AB\cdot DA\cos\angle BAD,
BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}-2BC\cdot CD\cos\angle BCD=
=BC^{2}+CD^{2}-2BC\cdot CD\cos(180^{\circ}-\angle BAD)=
=BC^{2}+CD^{2}+2BC\cdot CD\cos BAD.
Сложив эти два выражения для BD^{2}
, получим равенство
2BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}+2(BC\cdot CD-AB\cdot DA).
Осталось доказать, что BC\cdot CD-AB\cdot DA
.
Пусть диагонали четырёхугольника пересекаются в точке M
. Поскольку M
— середина AC
, треугольник ABM
равновелик треугольнику CBM
, а треугольник ADN
— треугольнику CDN
, значит, равновелики треугольники ABD
и CBD
. Тогда
\frac{1}{2}AB\cdot DA\sin\angle BAD=\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin(180^{\circ}-\angle BAD)=\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin\angle BAD,
поэтому BC\cdot CD=AB\cdot DA
. Отсюда следует утверждение задачи.