12911. Расстояния от точки, лежащей внутри остроугольного треугольника, до его вершин равны R_{1}
, R_{2}
и R_{3}
, а расстояния от этой точки до сторон треугольника равны r_{1}
, r_{2}
и r_{3}
. Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника равны R
и r
соответственно. Докажите, что
R_{1}R_{2}R_{3}\geqslant\frac{4R}{r}r_{1}r_{2}r_{3}.
Решение. Пусть расстояния от точки M
, лежащей внутри треугольника ABC
, до его вершин A
, B
и C
равны R_{1}
, R_{2}
и R_{3}
соответственно, расстояния до сторон BC
, AC
и AB
равны r_{1}
, r_{2}
и r_{3}
соответственно, а углы треугольника при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Докажем, что r_{2}+r_{3}\leqslant2R_{1}\sin\frac{\alpha}{2}
.
Пусть P
и Q
— проекции точки M
на прямые AB
и AC
соответственно, а \varphi
и \psi
— углы между лучом AM
и лучами AB
и AC
соответственно. Поскольку угол BAC
острый, то 0\lt\cos\frac{\psi-\varphi}{2}\leqslant1
. Тогда
r_{3}=MP=MA\sin\varphi_{1}=R_{1}\sin\varphi,~r_{2}=MQ=MA\sin\psi=R_{1}\sin\psi,
r_{2}+r_{3}=R_{1}\sin\psi+R_{1}\sin\varphi=R_{1}(\sin\varphi+\sin\psi)=
=2R_{1}\sin\frac{\psi+\varphi}{2}\cos\frac{\psi-\varphi}{2}\leqslant2R_{1}\sin\frac{\varphi+\psi}{2}=2R_{1}\sin\alpha.
Значит,
r_{2}r_{3}\leqslant\left(\frac{r_{2}+r_{3}}{2}\right)^{2}\leqslant R_{1}^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}.
Аналогично,
r_{1}r_{3}\leqslant R_{2}^{2}\sin^{2}\frac{\beta}{2},~r_{1}r_{2}\leqslant R_{3}^{2}\sin^{2}\frac{\gamma}{2}.
После перемножения этих трёх неравенств получим
r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}\leqslant R_{1}^{2}R_{2}^{2}R_{3}^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\sin^{2}\frac{\beta}{2}\sin^{2}\frac{\gamma}{2},
откуда
r_{1}r_{2}r_{3}\leqslant R_{1}R_{2}R_{3}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2},
а так как
\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{r}{4R}
(см. задачу 3225), то
R_{1}R_{2}R_{3}\geqslant\frac{4R}{r}r_{1}r_{2}r_{3}.
Что и требовалось доказать.