12922. Даны две параллельные прямые и прямой угол с вершиной O
в центре симметрии этих прямых. Докажите, что расстояние от точки O
до прямой, проходящей через точки M
и N
пересечения данных прямых со сторонами угла, не зависит от стороны угла.
Решение. Пусть m
и n
— данные параллельные прямые, точки M
и N
лежат на прямых m
и n
соответственно, прямая MO
пересекает прямую n
в точке M'
, а прямая NO
пересекает прямую m
в точке N'
. Тогда точки M'
и N'
симметричны точкам соответственно M'
и N'
относительно точки O
, поэтому MNM'N'
— параллелограмм с перпендикулярными диагоналями, т. е. ромб. Поскольку O
— точка пересечения биссектрис углов ромба, эта точка при любом выборе точки M
равноудалена от всех его сторон, в частности, от MN
и MN'
(и NM'
). Отсюда следует утверждение задачи.