12923. В окружности даны две произвольные хорды AB
и CD
. На хорде CD
задана точка P
. Постройте на окружности такую точку M
, чтобы прямые AM
и BM
высекали на хорде CD
отрезок, делящийся точкой P
пополам.
Решение. Рассмотрим случай, когда данные хорды не пересекаются (см. рис.). Предположим, что требуемая точка M
построена. Пусть точка A'
симметрична точке A
относительно точки P
, X
и Y
— точки пересечения хорд BM
и AM
соответственно с хордой CD
, и при этом P
— середина XY
. Пусть A'
— точка, симметричная A
относительно P
. Тогда отрезок A'X
симметричен отрезку AY
, поэтому, если \angle AMB=\varphi
, то
\angle BXA'=180^{\circ}-\angle MXA'=180^{\circ}-\angle AMB=180^{\circ}-\varphi.
Значит, из точки X
отрезок BA'
виден под фиксированным углом 180^{\circ}-\varphi
, и поэтому лежит на вмещающей угол \varphi
дуге с хордой BA'
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим точку A'
, симметричную данной точке A
относительно данной точки P
. Затем на отрезке BA'
как на хорде строим дугу, вмещающую угол 180^{\circ}-\varphi
, где \varphi
— фиксированный угол, равный углу под которым дуга AB
, не содержащая точки C
, видна из точек дуги CD
, не содержащей точки A
. Пусть M
— точка пересечения луча BX
с данной окружностью, а Y
— точка пересечения AM
и CD
. Докажем, что P
— середина отрезка XY
.
Из построения точки X
следует, что
\angle MXA'=180^{\circ}-\angle BXA'=\varphi=\angle AMX,
поэтому AM\parallel AY
, а тогда точка Y
симметрична X
относительно точки P
, т.е, P
— середина отрезка XY
. Что и требовалось доказать.