12924. Дан треугольник ABC
и точка P
. Точки P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
— её ортогональные проекции на прямые BC
, CA
, AB
соответственно. Точки Q_{1}
, Q_{2}
, Q_{3}
симметричны точкам P_{1}
, P_{2}
, P_{3}
относительно середин отрезков BC
, CA
, AB
соответственно. Докажите, что перпендикуляры к прямым BC
, CA
, AB
, восставленные в точках Q_{1}
, Q_{2}
, Q_{3}
соответственно, пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим симметрию относительно центра O
описанной окружности треугольника ABC
. Прямая PP_{1}
переходит в прямую l_{1}
, проходящую через точку Q_{1}
параллельно PP_{1}
, т. е. перпендикулярно BC
, так как OA_{1}
— общий серединный перпендикуляр к отрезкам BC
и P_{1}Q_{1}
, и поэтому образ любой отличной от P
точки прямой PP_{1}
по теореме Фалеса лежит на этой прямой l_{1}
(если A_{1}
— середина P_{1}Q_{1}
, то A_{1}O\parallel Q_{1}Q
). Следовательно, прямая PP_{1}
переходит в прямую, проходящую через точку Q_{1}
и перпендикулярную BC
. Аналогично, прямая PP_{2}
переходит в прямую, проходящую через точку Q_{2}
перпендикулярно AC
, а прямая PP_{3}
при этой симметрии переходит в прямую, проходящую через точку Q_{3}
перпендикулярно AB
. Значит, эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке — образе точки P
при симметрии относительно точки O
. Что и требовалось доказать.