12926. Продолжения боковых сторон AD
и BC
равнобедренной трапеции ABCD
пересекаются в точке S
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников ASC
и BSD
, пересекаются в центре окружности, описанной около трапеции.
Решение. Пусть M
— отличная от S
точка пересечения описанных окружностей треугольников ASC
и BSD
. Эти окружности равны, поэтому прямая SM
— их ось симметрии, а также ось симметрии трапеции. Значит, на ней лежит центр окружности, описанной около трапеции. Тогда
\angle ASM=\angle BSM~\Rightarrow~\smile AM=\smile MC~\Rightarrow~AM=MC.
Кроме того, из симметрии MA=MB
и MD=MC
. Значит, точка M
равноудалена от всех вершин трапеции. Следовательно, M
— центр описанной около неё окружности.