12928. Окружность, концентрическая с вписанной в треугольник окружностью, пересекает прямые, содержащие его стороны, соответственно в парах точек A
и B
, C
и D
, E
и F
. Докажите, что AB=CD=EF
.
Решение. Первый способ. При симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису угла треугольника, прямые, содержащие стороны этого угла, переходят друг в друга, а вписанная окружность треугольника переходит в себя. Значит, отрезки, высекаемые окружностью на сторонах этого угла, переходят друг в друга. Следовательно, они равны.
Второй способ. Хорды AB
, CD
и EF
большей окружности удалены от общего центра данных окружностей на одно и то же расстояние, равное радиусу вписанной окружности треугольника. Следовательно, AB=CD=EF
.