1293. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
; M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
и M_{d}
— точки пересечения медиан треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
соответственно. Докажите, что точки M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
и M_{d}
лежат на одной окружности
Указание. Отрезки соединяющие вершину четырёхугольника с точкой пересечения медиан треугольника, образованного тремя оставшимися вершинами, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1
.
Решение. Первый способ. Докажем, что стороны четырёхугольника с вершинами M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
, M_{d}
параллельны (и пропорциональны) сторонам исходного четырёхугольника ABCD
. Отсюда получим, что углы четырёхугольника M_{a}M_{b}M_{c}M_{d}
те же, что и у четырёхугольника ABCD
. Значит, он вписанный тогда и только тогда, когда четырёхугольник ABCD
вписанный.
Пусть K
— середина стороны BC
. По свойству медиан треугольника, KM_{d}:KA=1:3=KM_{a}:KD
, поэтому M_{a}M_{d}\parallel AD
. При этом M_{a}
и M_{d}
— соседние вершины четырёхугольника M_{a}M_{b}M_{c}M_{d}
. Аналогично для остальных сторон.
Второй способ. Докажем сначала, что отрезки AM_{a}
, BM_{b}
, CM_{c}
и DM_{d}
пересекаются в одной точке. Пусть K
— середина стороны BC
; O
— точка пересечения отрезков AM_{a}
и DM_{d}
.
Тогда \frac{KM_{a}}{KD}=\frac{KM_{d}}{KA}=\frac{1}{3}
, значит, M_{a}M_{d}\parallel BC
. Треугольники M_{a}OM_{d}
и AOD
подобны, поэтому
\frac{M_{a}O}{OA}=\frac{M_{d}O}{OD}=\frac{M_{a}M_{d}}{AD}=\frac{1}{3}.
Аналогично для любой другой пары отрезков, соединяющих вершину четырёхугольника с точкой пересечения медиан треугольника, образованного тремя оставшимися вершинами. Таким образом, любые два таких отрезка точкой пересечения делятся в одном и том же отношении. Следовательно, они пересекаются в точке O
. Что и требовалось доказать.
Перейдём к нашей задаче. При гомотетии с центром O
и коэффициентом -\frac{1}{3}
четырёхугольник ABCD
переходит в четырёхугольник M_{a}M_{b}M_{c}M_{d}
, значит, окружность, проходящая через точки A
. B
, C
и D
, переходит в окружность, проходящую через точки M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
и M_{d}
. Отсюда следует утверждение задачи.