12935. Две равные окружности пересекаются в точках A
и B
. Докажите, что прямая, проходящая через произвольную точку одной окружности и её образ при повороте вокруг точки A
, переводящем одну окружность в другую, проходит через точку B
.
Решение. Пусть \omega
и \omega_{1}
— данные равные окружности с центрами O
и O_{1}
соответственно, M
— произвольная точка окружности \omega
, а прямая MB
вторично пересекает окружность \omega_{1}
в точке M_{1}
. Очевидно, что при повороте вокруг точки A
на угол OAO_{1}
окружность \omega
переходит в \omega_{1}
. Нужно доказать, что при этом повороте точка M
переходит в M_{1}
.
Углы при основании OO_{1}
равнобедренного треугольника OAO_{1}
равны половинам каждого из равных центральных углов AOB
и AO_{1}B
. Значит,
\angle AMB_{1}=\angle AMB=\angle AOO_{1}=\angle AO_{1}O=\angle AM_{1}B=\angle AM_{1}M,
поэтому треугольник MAM_{1}
равнобедренный, MA_{1}=MB
. Кроме того,
\angle MAM_{1}=180^{\circ}-2\angle MAM_{1}=180^{\circ}-2\angle AOO_{1}=\angle OAO_{1}.
Следовательно, при рассматриваемом повороте точка M
переходит в M_{1}
. Отсюда следует утверждение задачи.