1294. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
; H_{a}
, H_{b}
, H_{c}
и H_{d}
— точки пересечения высот треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
соответственно. Докажите, что четырёхугольник H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}
равен четырёхугольнику ABCD
.
Указание. Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны (см. задачу 1257). Используя это утверждение, докажите, что отрезки AH_{a}
, BH_{b}
, CH_{c}
и DH_{d}
пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Решение. Пусть K
— середина стороны BC
; O
— центр описанной окружности четырёхугольника ABCD
, H
— точка пересечения отрезков AH_{a}
и DH_{d}
.
Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны (см. задачу 1257), поэтому AH_{d}=2OK
, AH_{d}\parallel OK
, DH_{a}=2OK
и DH_{a}\parallel OK
. Тогда AH_{d}=DH_{a}
и AH_{d}\parallel DH_{a}
. Значит, четырёхугольник AH_{d}H_{a}D
— параллелограмм. Следовательно, H_{a}H_{d}=AD
и H_{a}H_{d}\parallel AD
. Его диагонали AH_{a}
и DH_{d}
делятся точкой пересечения H
пополам. Аналогично докажем, что отрезки BH_{b}
и CH_{c}
также проходят через точку H
и делятся ею пополам. Таким образом, все четыре отрезка AH_{a}
, BH_{b}
, CH_{c}
и DH_{d}
пересекаются в точке H
и делятся ею пополам. Значит, четырёхугольник H_{a}H_{b}H_{c}H_{d}
симметричен четырёхугольнику ABCD
относительно точки H
. Следовательно, эти четырёхугольники равны.