12945. Пусть A_{1}
, A_{1}
,…, A_{n}
— фиксированные точки, k_{1}
, k_{2}
, …k_{n}
— данные числа. Докажите, что геометрическим местом точек M
, для которых сумма k_{1}A_{1}M+k_{2}A_{2}M+\dots+k_{1}A_{n}M
постоянна, будет:
а) окружность, точка или пустое множество, если k_{1}+k_{2}+\dots+k_{n}\ne0
;
б) прямая, пустое множество или вся плоскость, если k_{1}+k_{2}+\dots+k_{n}=0
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат. Если координаты точек A_{1}
, A_{2}
,…, A_{n}
— (x_{1};y_{1})
, (x_{2};y_{2})
, …, (x_{n};y_{n})
, точки M
— (x;y)
, то наше ГМТ будет задаваться уравнением
a(x^{2}+y^{2})+bx+cy+d=0,
где
a=k_{1}+k_{2}+\dots+k_{n}.
Тогда, если a\ne0
, то получаем либо окружность, либо точку (например, x^{2}+y^{2}=0
), либо пустое множество (при a=1
, b=c=0
, d=1
);
если a=0
, то получаем либо прямую, либо пустое множество (при b=c=0
, d\ne0
), либо всю плоскость (при b=c=d=0
).
Что и требовалось доказать.