12950. Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда p\gt2R+r
, где p
— полупериметр треугольника, а R
и r
— радиусы описанной и вписанной окружностей.
Решение. Пусть углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Поскольку
p^{2}-(2R+r)^{2}=4R^{2}\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma
(см. задачу 12949б), то треугольник остроугольный тогда и только тогда,
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\gt0,
что равносильно неравенству p\gt2R+r
.
Примечание. Из приведённого решения также следует, что треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда p\lt2R+r
, и треугольник прямоугольный тогда и только тогда, когда p=2R+r
.