12958. Стороны параллелограмма равны a
и b
(a\ne b
). Через вершины тупых углов этого параллелограмма проведены прямые, перпендикулярные сторонам. Эти прямые при пересечении образуют параллелограмм, подобный исходному. Найдите косинус острого угла исходного параллелограмма.
Ответ. \frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}
.
Решение. Пусть ABCD
— данный параллелограмм со сторонами AB=a
, BC=b
и острым углом \alpha
при вершине A
; прямая, проведённая через вершину B
перпендикулярно AD
, и прямая, проведённая через вершину D
перпендикулярно AB
, пересекаются в точке M
, прямая, проведённая через вершину B
перпендикулярно CD
, и прямая, проведённая через вершину D
перпендикулярно BC
, пересекаются в точке N
; прямая DM
пересекает прямую AB
в точке K
, а прямая DN
пересекает прямую BC
в точке L
.
Тогда BK
и BL
— высоты параллелограмма BMDN
, соответствующие высотам BP
и BQ
(точки P
и Q
лежат на прямых AD
и CD
соответственно) подобного ему параллелограмма ABCD
. Значит, отношения этих высот должны быть равны, т. е. \frac{BK}{BL}=\frac{BP}{BQ}
.
Предположим, что точки K
и P
лежат на отрезках AB
и AD
соответственно (рис. 1). Тогда
BK=AB-AK=a-b\cos\alpha,~BL=BC-CL=b-a\cos\alpha.
Из равенства \frac{a-b\cos\alpha}{b-a\cos\sin\alpha}=\frac{a}{b}
получаем, что a=b
, что противоречит условию задачи. Следовательно, этот случай невозможен.
Пусть теперь точка K
лежит на продолжении стороны AB
(рис. 2). Тогда
BK=AK-AB=b\cos\alpha-a,~BL=BC-CL=b-a\cos\alpha.
Из равенства \frac{b\cos\alpha-a}{b-a\cos\sin\alpha}=\frac{a}{b}
получаем, что \cos\alpha=\frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}
.