12960. Дана точка A
и прямая l
, B
— произвольная точка прямой l
. Найдите геометрическое место таких точек M
, что ABM
— правильный треугольник.
Ответ. Если A
не лежит на прямой l
, то искомое ГМТ — две прямые, проходящие через точку, симметричную точке A
относительно прямой l
, и образующие с прямой l
углы 60^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка A
не лежит на прямой l
. Пусть A'
— точка, симметричная точке A
относительно прямой l
, B
— точка на прямой l
, M
— вершина равностороннего треугольника ABM
. Тогда BM=BA=BA'
, поэтому точки M
, A
и A'
лежат на окружности с центром B
и радиусом BM
. Вписанный в эту окружность угол AA'M
равен половине соответствующего центрального угла ABM
, т. е. \angle AA'M=30^{\circ}
. Следовательно, каждая точка точка M
лежит на одной из двух прямых, проходящих через точку A'
и пересекающих данную прямую l
под углом 60^{\circ}
.
Верно и обратное: для любой точки M
, лежащей на одной из этих двух прямых, найдётся такая точка B
на прямой l
, что треугольник ABM
равносторонний. Действительно, для произвольной точки одной из двух рассматриваемых прямых точка B
— пересечение серединного перпендикуляра к отрезку AM
с прямой l
. Дальнейшие рассуждения аналогичны приведённым в первом абзаце.
Если точка A
лежит на прямой l
то ответ тот же (за исключением самой точки A
), Точка A'
в этом случае совпадает с A
.