12961. Дан правильный треугольник ABC
. На продолжениях его сторон AB
и AC
взяты точки соответственно D
и E
так, что BD\cdot CE=BC^{2}
. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых DC
и BE
.
Ответ. Дуга описанной окружности треугольника ABC
, соответствующая центральному углу 120^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые DC
и BE
пересекаются в точке M
. Из условия следует, что \frac{BD}{BC}=\frac{BC}{CE}
, поэтому, треугольники DBC
и BCE
подобны по двум сторонам и углу между ними (равному 120^{\circ}
). Тогда
\angle BCD=\angle CEB,~\angle BDC=\angle CBE.
Значит, учитывая, что
\angle CBE+\angle CEB=\angle ACB=60^{\circ}
(по теореме о внешнем угле треугольника), получим, что
\angle BMC=180^{\circ}-(\angle CBM+\angle BCM)=180^{\circ}-(\angle CBE+\angle BCD)=
=180^{\circ}-(\angle CBE+\angle CEB)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}
Следовательно, четырёхугольник ABMC
вписанный, т. е. точка M
лежит на меньшей дуге BC
описанной окружности треугольника ABC
.
Обратно, для каждой точки M
этой дуги прямые CM
и BM
пересекают продолжения сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
в точках D
и E
, и при этом BD\cdot CE=BC^{2}
. Это легко доказать, обратив приведённые выше рассуждения.