12962. В остроугольном треугольнике ABC
острый угол B
равен 30^{\circ}
, H
— точка пересечения высот, O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABH
и CBH
соответственно. Докажите, что угол между прямыми AO_{2}
и CO_{1}
равен 45^{\circ}
.
Решение. Поскольку
\angle BCH=90^{\circ}-\angle ABC=60^{\circ}~\mbox{и}~\angle BO_{1}H=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAH=
90^{\circ}+\frac{1}{2}(\angle90^{\circ}-\angle ABC)=90^{\circ}+\frac{1}{2}(90^{\circ}-30^{\circ})=120^{\circ},
(см. задачу 4770), то четырёхугольник BCHO_{1}
вписан в окружность. Вписанные в эту окружность углы HCO_{1}
и HBO_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle HCO_{1}=\angle HBO_{1}=\frac{1}{2}\angle ABH.
Аналогично,
\angle HAO_{2}=\angle HBO_{2}=\frac{1}{2}\angle CBH.
Значит,
\angle O_{1}CA+\angle O_{2}AC=(\angle HCO_{1}+\angle ACH)+(\angle HAO_{2}+\angle CAH)=
=(\angle ACH+\angle CAH)+(\angle HCO_{1}+\angle HAO_{2})=
=(180^{\circ}-\angle ACH)+\frac{1}{2}(\angle ABH+\angle CBH)=(180^{\circ}-150^{\circ})+15^{\circ}=45^{\circ}.
Следовательно, угол между прямыми AO_{2}
и CO_{1}
равен 45^{\circ}
.