12964. Две окружности касаются внутренним образом в точке A
. Секущая пересекает эти окружности в точках M
, N
, P
, Q
, расположенных последовательно. Докажите, что углы MAP
и QAN
равны.
Решение. Пусть при гомотетии с центром A
, переводящей меньшую окружность в большую, точки M
, N
, P
, Q
переходят в M'
, N'
, P'
, Q'
соответственно. При этом прямая MQ
переходит в параллельную ей прямую N'P'
. Дуги MN'
и QP'
большей окружности, заключённые между параллельными хордами MQ
и N'P'
равны, значит, равны опирающиеся на них вписанные углы MAN'
и QAP'
. Следовательно,
\angle MAP=\angle MAP'=\angle MAN'+\angle N'AP'=\angle QAP'+\angle N'AP'=\angle QAN'=\angle QAN.
Что и требовалось доказать.