12976. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AC
и BC
в точках M
и N
соответственно; биссектрисы углов A
и B
пересекают прямую MN
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что из отрезков MK
, NL
и KL
можно сложить треугольник. Найдите его площадь, если площадь треугольника ABC
равна S
, а \angle C=\alpha
.
Ответ. S\sin^{2}\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, а полупериметр треугольника ABC
равен p
. Предположим, что когда b\geqslant c\geqslant a
.
Пусть прямые BK
и AC
пересекаются в точке R
, а прямые AL
и BC
— в точке F
. Поскольку AK\perp BK
и BL\perp AL
(см. задачу 58), биссектрисы AK
и BL
треугольников ABR
и ABF
являются их высотами. Значит, эти треугольники равнобедренные, AR=AB=c
и BF=BA=c
.
Вычислим отрезок MK
. Для этого через точку N
параллельно AC
проведём прямую до пересечения с BR
в точке Q
. Треугольник MKR
подобен треугольнику NKQ
, треугольник BQN
подобен треугольнику BRC
, а
MR=AR-AM=c-(p-a)=a+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+c-b}{2}=p-b=NB
(см. задачу 219), поэтому
\frac{MK}{KN}=\frac{MR}{NQ}=\frac{NB}{KN}=\frac{CB}{CR}=\frac{CB}{AC-AR}=\frac{a}{b-c},
а так как CN=CM
, то
MN=2CM\sin\frac{1}{2}\angle ACB=2(p-c)\sin\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
MK=KN\cdot\frac{MR}{NQ}=KN\cdot\frac{a}{b-c}=(MN-KM)\frac{a}{b-c},
откуда находим, что
KM=\frac{MN\cdot\frac{a}{b-c}}{\frac{a}{b-c}+1}={MN}\cdot\frac{a}{2(p-c)}=2(p-c)\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{a}{2(p-c)}=a\sin\frac{\alpha}{2}.
Вычислим отрезок NL
. Для этого через точку M
параллельно BC
проведём прямую до пересечения с AF
в точке P
. Треугольник NLF
подобен треугольнику MLP
, треугольник AMP
подобен треугольнику ACF
, а
NF=BF-BN=c-(p-b)=c+b-\frac{a+b+c}{2}=\frac{b+c-a}{2}=p-a=AM
поэтому
\frac{ML}{NL}=\frac{MP}{NF}=\frac{MP}{AM}=\frac{CF}{AF}=\frac{BF-BC}{AC}=\frac{c-a}{b}.
Следовательно,
NL=ML=ML\cdot\frac{b}{c-a}=(NL-MN)\frac{b}{c-a},
откуда находим, что
NL=MN\cdot\frac{b}{2(p-c)}=2(p-c)\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{b}{2(p-c)}=b\sin\frac{\alpha}{2}.
Поскольку
FC=BF-BC=AB-BC=c-a,
то
MP=FC\cdot\frac{AM}{AC}=(c-a)\cdot\frac{p-a}{b}=\frac{(c-a)(p-a)}{b},
а также
\frac{ML}{LN}=\frac{MP}{FN},~\mbox{или}~\frac{ML}{ML+MN}=\frac{MP}{FN}=\frac{\frac{(c-a)(p-a)}{b}}{p-a}=\frac{c-a}{b},
откуда
ML=\frac{c-a}{2(p-c)}\cdot MN.
Значит,
KL=KM+ML=KM+\frac{c-a}{2(p-c)}\cdot MN=a\sin\frac{\alpha}{2}+\frac{c-a}{2(p-c)}\cdot2(p-c)\sin\frac{\alpha}{2}=
=(a+c-a)\sin\frac{\alpha}{2}=c\sin\frac{\alpha}{2}.
Следовательно, из отрезков
MK=a\sin\frac{\alpha}{2},~NL=b\sin\frac{\alpha}{2},~KL=c\sin\frac{\alpha}{2}
можно составить треугольник — треугольник, подобный треугольнику ABC
с коэффициентом \sin\frac{\alpha}{2}
. Площадь этого треугольника равна S\sin^{2}\frac{\alpha}{2}
.