12977. Точки A
, B
и C
в указанном порядке расположены на прямой, AB=a
, BC=b
. Точка D
находится на расстоянии h
от этой прямой. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах окружностей, описанных около треугольников ABD
, BCD
, ACD
.
Ответ. \frac{ab(a+b)}{8h}
.
Решение. Пусть O_{c}
, O_{a}
, O_{b}
— центры окружностей, описанных около треугольников ABD
, BCD
и ACD
соответственно. Точки O_{c}
и O_{b}
лежат на серединных перпендикулярах к отрезкам AB
и AC
соответственно, поэтому их проекции на прямую AC
— середины этих отрезков. Значит, расстояние между этими проекциями равно
\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(a+b)-\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}b.
Аналогично, расстояние между проекциями точек O_{b}
и O_{a}
на прямую AC
равно \frac{1}{2}a
.
Обозначим \angle DAB=\varphi
, \angle DCB=\psi
. Тогда
O_{c}O_{b}=\frac{b}{2\cos(90^{\circ}-\varphi)}=\frac{b}{2\sin\varphi},~O_{a}O_{b}=\frac{a}{2\cos(90^{\circ}-\psi)}=\frac{a}{2\sin\psi}.
Заметим, что
a+b=AC=h\ctg\varphi+h\ctg\psi=h(\ctg\varphi+\ctg\psi)=\frac{h\sin(\varphi+\psi)}{\sin\varphi\sin\psi},
откуда
\frac{\sin(\varphi+\psi)}{\sin\varphi\sin\psi}=\frac{a+b}{h}.
Кроме того, угол O_{a}O_{b}O_{c}
равен либо \varphi+\psi
, либо 180^{\circ}-(\varphi+\psi)
. Следовательно,
S_{\triangle O_{a}O_{b}O_{c}}=\frac{1}{2}O_{c}O_{b}\cdot O_{a}O_{b}\cdot\sin\angle O_{a}O_{b}O_{c}=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{2\sin\varphi}\cdot\frac{a}{2\sin\psi}\sin(\varphi+\psi)=\frac{ab(a+b)}{8h}.