12978. На продолжении боковой стороны KM
трапеции KMCB
за точку K
и за точку M
взяты точки A
и D
соответственно так, что KA=MD
и ABCD
— выпуклый четырёхугольник. Диагонали AC
и BD
и прямые BK
и CM
делят этот четырёхугольник на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что сумма площадей треугольников, прилежащим к сторонам AB
, BC
и CD
, равна площади пятиугольника.
Решение. Докажем сначала, что
S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}=S_{KBCM}.
Действительно, пусть P
— середина боковой стороны KM
трапеции KMCB
. Тогда P
— середина отрезка AD
. Пусть h_{1}
, h
и h_{2}
— высоты треугольников соответственно ABC
, PBC
и DBC
, проведённые из вершин A
, P
и B
. Тогда
h=\frac{h_{1}+h_{2}}{2},
поэтому
S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot h_{1}+\frac{1}{2}BC\cdot h_{2}=\frac{1}{2}BC\cdot(h_{1}+h_{2})=BC\cdot h.
С другой стороны, если высота трапеции KMCB
равна d
, средняя линия равна l
, а \angle CBK=\alpha
, то
h=l\sin\alpha,~BC=\frac{d}{\sin\alpha},
поэтому
BC\cdot h=\frac{d}{\sin\alpha}\cdot l\sin\alpha=ld=S_{KMCB}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}=S_{KBCM}.
Возвратимся к нашей задаче. Обозначим через S_{1}
, S_{3}
и S_{6}
площади треугольников, прилежащих к сторонам BC
, CD
и AB
соответственно, через S_{4}
и S_{5}
— площади треугольников, прилежащих к сторонам DM
и AK
соответственно, через S_{2}
и S_{7}
— площади оставшихся двух с вершинами C
и B
соответственно, а через S
— площадь пятиугольника. Тогда
S_{KBCM}=S+S_{1}+S_{2}+S_{7},~S_{\triangle ABC}=S_{6}+S_{7}+S_{1},~\mbox{и}~S_{\triangle BCD}=S_{1}+S_{2}+S_{3}.
Из равенства
(S_{6}+S_{7}+S_{1})+(S_{1}+S_{2}+S_{3})=(S+S_{1}+S_{2}+S_{7})
получаем
S=S_{1}+S_{3}+S_{6}.
Что и требовалось доказать.