1298. В треугольнике со сторонами a
, b
и c
прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, перпендикулярна биссектрисе угла, противолежащего стороне c
. Докажите, что среднее арифметическое чисел a
, b
, c
равно среднему гармоническому чисел a
и b
(т. е. \frac{a+b+c}{3}=\frac{2ab}{a+b}
).
Решение. Пусть стороны треугольника ABC
, противолежащие углам A
, B
и C
, равны a
, b
и c
соответственно, h_{a}
и h_{b}
— высоты, проведённые из вершин соответственно A
и B
, S
— площадь треугольника, M
— точка пересечения медиан, I
— центр вписанной окружности, r
— её радиус, C_{1}
— середина стороны AB
, E
и F
— точки пересечения прямой MI
со сторонами AC
и BC
соответственно.
Тогда
h_{a}=\frac{2S}{a},~h_{b}=\frac{2S}{b},~r=\frac{2S}{a+b+c}.
Поскольку расстояние от точки C_{1}
до стороны AC
вдвое меньше h_{b}
, а \frac{CM}{CC_{1}}=\frac{2}{3}
, то расстояние от точки M
до стороны AC
(высота треугольника CME
, проведённая из точки M
) равно \frac{1}{3}h_{b}
. Аналогично высота треугольника CMF
, проведённая из точки M
, равна \frac{1}{3}h_{a}
. Биссектриса CI
треугольника ECF
является его высотой, поэтому треугольник ECF
равнобедренный, CF=CE
. Тогда
S_{\triangle ECF}=S_{\triangle CME}+S_{\triangle CMF}=\frac{1}{2}CE\cdot\frac{1}{3}h_{b}+\frac{1}{2}CF\cdot\frac{1}{3}h_{a}=\frac{1}{6}CF\cdot(h_{b}+h_{a}).
Высоты треугольников CIE
и CIF
, проведённые из точки I
, равны r
, поэтому
S_{\triangle ECF}=S_{\triangle CIE}+S_{\triangle CIF}=\frac{1}{2}CE\cdot r+\frac{1}{2}CF\cdot r=\frac{1}{2}CF\cdot2r=CF\cdot r.
Из равенства \frac{1}{6}CF\cdot(h_{b}+h_{a})=CF\cdot r
получим, что \frac{1}{6}(h_{b}+h_{a})=r
, или
\frac{1}{6}\left(\frac{2S}{b}+\frac{2S}{a}\right)=\frac{2S}{a+b+c},~\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)=\frac{3}{a+b+c}.
Следовательно,
\frac{a+b+c}{3}=\frac{2ab}{a+b}.
Что и требовалось доказать.