12990. Медиана треугольника, выходящая из одной вершины, равна высоте, проведённой из другой вершины, и равна 1. Высота, проведённая из третьей вершины равна \sqrt{3}
. Найдите площадь треугольника.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
, \sqrt{3}
.
Решение. Пусть AH=1
— высота треугольника ABC
, CM=1
— медиана, BP=\sqrt{3}
— вторая высота. Тогда по теореме о средней линии треугольника расстояния q
и p
от точки M
до прямых BC
и AC
равны \frac{1}{2}
и \frac{\sqrt{3}}{2}
соответственно.
Обозначим \angle BCM=\alpha
, \angle ACM=\beta
. Тогда
\sin\alpha=\frac{q}{CM}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2},~\sin\beta=\frac{p}{CM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Значит, \alpha=30^{\circ}
или \alpha=150^{\circ}
, \beta=60^{\circ}
или \beta=120^{\circ}
, а так как\angle ACB=\alpha+\beta\lt180^{\circ}
, то возможны только два варианта: \alpha=30^{\circ}
, \beta=60^{\circ}
или\alpha=30^{\circ}
, \beta=120^{\circ}
.
В первом случае треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
и катетами AC=1
и BC=\sqrt{3}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Во втором — достроим треугольник ABC
до параллелограмма ACBC_{1}
. Тогда
\angle CBC_{1}=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}=\alpha=\angle BCC_{1},
поэтому треугольник BCC_{1}
равнобедренный с боковыми сторонами BC_{1}=CC_{1}=2CM=2
и углом 120^{\circ}
при вершине C_{1}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCC_{1}}=\frac{1}{2}CC_{1}\cdot BC_{1}\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.