12995. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота AD
из вершины прямого угла. Точки I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ABD
и ADC
соответственно. Докажите, что прямые I_{1}I_{2}
и AB
пересекаются на описанной окружности треугольника BDI_{1}
.
Решение. Пусть прямые I_{1}I_{2}
и AB
пересекаются в точке E
. Прямоугольные треугольники ADC
и BDA
подобны, а так как DI_{2}
и DI_{1}
— соответствующие отрезки при этом подобии, то
\frac{DI_{2}}{DI_{1}}=\frac{AC}{BA}.
Поскольку DI_{1}
и DI_{2}
— биссектрисы смежных углов, треугольник I_{1}DI_{2}
прямоугольный с прямым углом при вершине D
. Значит, этот треугольник подобен треугольнику ABC
. Тогда
\angle DI_{1}I_{2}=\angle ABC,
поэтому четырёхугольник I_{1}DBE
вписанный. Следовательно, точка E
лежит на описанной окружности треугольника BDI_{1}
. Что и требовалось доказать.